Накопление погрешности. Математическая энциклопедия что такое накопление погрешности, что означает и как правильно пишется Измерение переменных напряжений

ВВЕДЕНИЕ

Любые измерения, как бы тщательно их ни выполняли, сопровождаются погрешностями (ошибками), т. е. отклонениями измеренных величин от их истинного значения. Это объясняется тем, что в процессе измерений непрерывно меняются условия: состояние внешней среды, мерного прибора и измеряемого объекта, а также внимание исполнителя. Поэтому при измерении величины всегда получают ее приближенное значение, точность которого требуется оценить. Возникает и другая задача: выбрать прибор, условия и методику, чтобы выполнить измерения с заданной точностью. Эти задачи помогает решить теория ошибок, которая изучает законы распределения погрешностей, устанавливает критерии оценки и допуски к точности измерений, способы определения вероятнейшего значения определяемой величины, правила предвычисления ожидаемых точностей.

12.1. ИЗМЕРЕНИЯ И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ

Измерением называют процесс сравнения измеряемой величины с другой, принятой за единицу измерения известной величиной.
Все величины, с которыми мы имеем дело, подразделяют на измеренные и вычисленные. Измеренной величиной называют ее приближенное значение, найденное путем сравнения с однородной единицей меры. Так, последовательно укладывая землемерную ленту по заданному направлению и подсчитывая число уложений, находят приближенное значение длины участка.
Вычисленной величиной называют ее значение, определенное по другим измеренным величинам, функционально с ней связанным. Например, площадь участка прямоугольной формы есть произведение его измеренных длины и ширины.
Для обнаружения промахов (грубых ошибок) и повышения точности результатов одну и ту же величину измеряют несколько раз. По точности такие измерения подразделяют на равноточные и неравноточные. Равноточные - однородные многократные результаты измерения одной и той же величины, выполненные одним и тем же прибором (или разными приборами одного и того же класса точности), одинаковыми способом и числом приемов, в идентичных условиях. Неравноточные - измерения, выполненные при несоблюдении условий равноточности.
При математической обработке результатов измерений большое значение имеет число измеренных величин. Например, чтобы получить величину каждого угла треугольника, достаточно измерить лишь два из них - это и будет необходимое число величин. В общем случае для решения любой топографо-геодезической задачи необходимо измерить некоторое минимальное число величин, обеспечивающее решение поставленной задачи. Их называют числом необходимых величин или измерений. Но чтобы судить о качестве измерений, проконтролировать их правильность и повысить точность результата, измеряют и третий угол треугольника - избыточный . Числом избыточных величин (k ) называют разность между числом всех измеренных величин (п ) и числом необходимых величин (t ):

В топографо-геодезической практике избыточные измеренные величины обязательны. Они позволяют обнаруживать ошибки (погрешности) в измерениях и вычислениях и повышают точность определяемых величин.

По физическому исполнению измерения могут быть прямые, косвенные и дистанционные.
Прямые измерения являются простейшими и в историческом плане первыми видами измерений, например, измерение длин линий землемерной лентой или рулеткой.
Косвенные измерения основываются на использовании некоторых математических зависимостей между искомыми и непосредственно измеряемыми величинами. Например, площадь прямоугольника на местности определяют, измерив длины его сторон.
Дистанционные измерения основываются на использовании ряда физических процессов и явлений и, как правило, связаны с использованием современных технических средств: светодальномеров, электронных тахеометров, фототеодолитов и т.д.

Измерительные приборы, используемые в топографо-геодезическом производстве, можно разделить на три основных класса :

• высокоточные (прецизионные);
• точные;
• технические.

12.2. ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ

При многократном измерении одной и той же величины каждый раз получают несколько отличающиеся результаты, как по абсолютной величине, так и по знакам, каким бы опытом не обладал исполнитель и какими бы высокоточными приборами он не пользовался.
Погрешности различают: грубые, систематические и случайные.
Появление грубых погрешностей (промахов ) связано с серьезными ошибками при производстве измерительных работ. Эти ошибки легко выявляются и устраняются в результате контроля измерений.
Систематические погрешности входят в каждый результат измерений по строго определенному закону. Они обусловлены влиянием конструкции измерительных приборов, погрешностями градуировки их шкал, износом и т. д. (инструментальные погрешности) иливозникают из-за недоучета условий измерений и закономерностей их изменений, приближенности некоторых формул и др. (методические погрешности). Систематические погрешности делятся на постоянные (неизменные по знаку и вели чине) и переменные (изменяющие свою величину от одного измерения к другому по определенному закону).
Такие погрешности заранее определимы и могут быть сведены к необходимому минимуму путем введения соответствующих поправок.
Например , заранее может быть учтено влияние кривизны Земли на точность определения вертикальных расстояний, влияние температуры воздуха и атмосферного давления при определении длин линий светодальномерами или электронными тахеометрами, заранее можно учесть влияние рефракции атмосферы и т. д.
Если не допускать грубых погрешностей и устранять систематические, то качество измерений будет определяться только случайными погрешностями. Эти погрешности неустранимы, однако их поведение подчиняется законам больших чисел. Их можно анализировать, контролировать и сводить к необходимому минимуму.
Для уменьшения влияния случайных погрешностей на результаты измерений прибегают к многократным измерениям, к улучшению условий работы, выбирают более совершенные приборы, методы измерений и осуществляют тщательное их производство.
Сопоставляя ряды случайных погрешностей равноточных измерений можно обнаружить, что они обладают следующими свойствами:
а) для данного вида и условий измерений случайные погрешности не могут превышать по абсолютной величине некоторого предела;
б) малые по абсолютной величине погрешности появляются чаще больших;
в) положительные погрешности появляются так же часто, как и равные им по абсолютной величине отрицательные;
г) среднее арифметическое из случайных погрешностей одной и той же величины стремится к нулю при неограниченном увеличении числа измерений.
Распределение ошибок, соответствующее указанным свойствам, называется нормальным (рис. 12.1).

Рис. 12.1. Кривая нормального распределения случайных погрешностей Гаусса

Разность между результатом измерения некоторой величины (l ) и ее истинным значением (X ) называют абсолютной (истинной) погрешностью .

Истинное (абсолютно точное) значение измеряемой величины получить невозможно, даже используя приборы самой высокой точности и самую совершенную методику измерений. Лишь в отдельных случаях может быть известно теоретическое значение величины. Накопление погрешностей приводит к образованию расхождений между результатами измерений и действительными их значениями.
Разность суммы практически измеренных (или вычисленных) величин и теоретического ее значения называется невязкой . Например, теоретическая сумма углов в плоском треугольнике равна 180º, а сумма измеренных углов оказалась равной 180º02"; тогда погрешность суммы измеренных углов составит +0º02". Эта погрешность будет угловой невязкой треугольника.
Абсолютная погрешность не является, полным показателем точности выполненных работ. Например, если некоторая линия, фактическая длина которой составляет 1000 м , измерена землемерной лентой с ошибкой 0,5 м , а отрезок длиною 200 м - с ошибкой 0,2 м , то, несмотря на то, что абсолютная погрешность первого измерения больше второго, все же первое измерение было выполнено с точностью в два раза более высокой. Поэтому вводят понятие относительной погрешности :

Отношение абсолютной погрешности измеряемой величины Δ к измеренной величине l называют относительной погрешностью .

Относительные погрешности всегда выражаются дробью с числителем, равным единице (аликвотная дробь). Так, в приведенном выше примере относительная погрешность первого измерения составляет

а второго

12.3 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ РАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ ОДНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Пусть некоторая величина с истинным значением X измерена равноточно n раз и получены результаты: l 1 , l 2 , l 3 , … l i (i = 1, 2, 3, … n ), которые часто называют рядом измерений. Требуется найти наиболее надежное значение измеренной величины, которое называют вероятнейшим , и оценить точность результата.
В теории погрешностей наиболее вероятным значением для ряда равноточных результатов измерений принимают среднее арифметическое , т. е.

(12.1)

При отсутствии систематических погрешностей арифметическое среднее по мере неограниченного возрастания числа измерений стремится к истинному значению измеряемой величины.
Чтобы усилить влияние более крупных погрешностей на результат оценки точности ряда измерений, пользуются среднеквадратической погрешностью (СКП ). Если известно истинное значение измеряемой величины, а систематическая погрешность пренебрежимо мала, то средняя квадратическая погрешность (m ) отдельного результата равноточных измерений определяется по формуле Гаусса:

m = (12.2) ,

где Δ i - истинная погрешность.

В геодезической практике истинное значение измеряемой величины в большинстве случаев заранее неизвестно. Тогда среднюю квадратическую погрешность отдельного результата измерений вычисляют по вероятнейшим погрешностям (δ ) отдельных результатов измерений (l i ); по формуле Бесселя:

m = (12.3)

Где вероятнейшие погрешности (δ i ) определяются как отклонение результатов измерений от арифметического среднего

δ i = l i - µ

Часто рядом с вероятнейшим значением величины записывают и ее среднюю квадратическую погрешность (m ), например 70°05" ± 1". Это означает, что точное значение угла может быть больше или меньше указанного на 1". Однако эту минуту нельзя ни добавить к углу, ни вычесть из него. Она характеризует лишь точность получения результатов при данных условиях измерений.

Анализ кривой нормального распределения Гаусса показывает, что при достаточно большом числе измерений одной и той же величины случайная погрешность измерения может быть:

• больше средней квадратической m в 32 случаях из 100;
• больше удвоенной средней квадратической 2m в 5 случаях из 100;
• больше утроенной средней квадратической 3m в 3 случаях из 1000.

Маловероятно, чтобы случайная погрешность измерения оказалась больше утроенной средней квадратической, поэтому утроенную среднюю квадратическую погрешность считают предельной:

Δ пред. = 3m

Предельной погрешностью называется такое значение случайной погрешности, появление которого при данных условиях измерений маловероятно.

В качестве предельной также принимают среднюю квадратическую погрешность, равную

Δ пред = 2,5m ,

С вероятностью ошибки, равной порядка 1%.

Средняя квадратическая погрешность суммы измеренных величин

Квадрат средней квадратической погрешности алгебраической суммы аргумента равен сумме квадратов средних квадратических погрешностей слагаемых

m S 2 = m 1 2 + m 2 2 + m 3 2 + .....+ m n 2

В частном случае, когда m 1 = m 2 = m 3 = m n = m для определения средней квадратической погрешности арифметической средней пользуются формулой

m S =

Средняя квадратическая погрешность алгебраической суммы равноточных измерений в раз больше средней квадратической погрешности одного слагаемого.

Пример.
Если измерено 9 углов 30-секундным теодолитом, то средняя квадратическая погрешность угловых измерений составит

m угл = 30 " = ±1,5"

Средняя квадратическая погрешность арифметического среднего
(точность определения среднего арифметического)

Средняя квадратическая погрешность арифметического среднего (m µ ) в раз меньше среднего квадратического одного измерения.

Это свойство средней квадратической погрешности арифметического среднего позволяет повысить точность измерений путем увеличения числа измерений .

Например , требуется определить величину угла с точностью ± 15 секунд при наличии 30-секундного теодолита.

Если измерить угол 4 раза (n ) и определить арифметическое среднее, то средняя квадратическая погрешность арифметического среднего (m µ ) составит ± 15 секунд.

Средняя квадратическая погрешность арифметического среднего ( m µ ) показывает, в какой мере снижается влияние случайных погрешностей при многократных измерениях.

Пример
Произведено 5-кратное измерение длины одной линии.
По результатам измерений вычислить: вероятнейшее значение ее длины L (среднее арифметическое); вероятнейшие погрешности (отклонения от среднего арифметического); среднюю квадратическую погрешность одного измерения m ; точность определения среднего арифметического mµ , и вероятнейшее значение длины линии с учетом среднеквадратической погрешности среднего арифметического (L ).

Обработка результатов измерения расстояния (пример)

Таблица 12.1.

12.4. ВЕСА РЕЗУЛЬТАТОВ НЕРАВНОТОЧНЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

При неравноточных измерениях, когда результаты каждого измерения нельзя считать одинаково надежными, уже нельзя обойтись определением простого арифметического среднего. В таких случаях учитывают достоинство (или надежность) каждого результата измерений.
Достоинство результатов измерений выражают некоторым числом, называемым весом этого измерения . Очевидно, что арифметическое среднее будет иметь больший вес по сравнению с единичным измерением, а измерения, выполненные при использовании более совершенного и точного прибора, будут иметь большую степень доверия, чем те же измерения, выполненные прибором менее точным.
Поскольку условия измерений определяют различную величину средней квадратической погрешности, то последнюю и принято принимать в качестве основы оценки весовых значений, проводимых измерений. При этом веса результатов измерений принимают обратно пропорциональными квадратам соответствующих им средних квадратических погрешностей .
Так, если обозначить через р и Р веса измерений, имеющие средние квадратические погрешности соответственно m и µ , то можно записать соотношение пропорциональности:

Например, если µ средняя квадратическая погрешность арифметического среднего, а m - соответственно, одного измерения, то, как следует из

можно записать:

т. е. вес арифметического среднего в n раз больше веса единичного измерения .

Аналогичным образом можно установить, что вес углового измерения, выполненного 15-секундным теодолитом, в четыре раза выше веса углового измерения, выполненного 30-секундным прибором.

При практических вычислениях обычно вес одной какой-либо величины принимают за единицу и при этом условии вычисляют веса остальных измерений. Так, в последнем примере если принять вес результата углового измерения 30-секундным теодолитом за р = 1, то весовое значение результата измерения 15-секундным теодолитом составит Р = 4.

12.5. ТРЕБОВАНИЯ К ОФОРМЛЕНИЮ РЕЗУЛЬТАТОВ ПОЛЕВЫХ ИЗМЕРЕНИЙ И ИХ ОБРАБОТКЕ

Все материалы геодезических измерений состоят из полевой документации, а также документации вычислительных и графических работ. Многолетний опыт производства геодезических измерений и их обработки позволил разработать правила ведения этой документации.

Оформление полевых документов

К полевым документам относят материалы поверок геодезических приборов, журналы измерений и бланки специальной формы, абрисы, пикетажные журналы. Вся полевая документация считается действительной только в подлиннике. Она составляется в единственном экземпляре и в случае утраты может быть восстановлена лишь повторными измерениями, что практически не всегда возможно.

Правила ведения полевых журналов сводятся к следующим.

1. Заполнять полевые журналы следует аккуратно, все цифры и буквы должны быть записаны четко и разборчиво.
2. Исправление цифр и их подчистка, а также написание цифры по цифре не допускаются.
3. Ошибочные записи отсчетов зачеркиваются одной чертой и справа указывается «ошибочно» или «описка», а правильные результаты надписываются сверху.
4. Все записи в журналах ведутся простым карандашом средней твердости, чернилами или шариковой ручкой; использование для этого химических или цветных карандашей не рекомендуется.
5. При выполнении каждого вида геодезических съемок записи результатов измерений делают в соответствующих журналах установленной формы. До начала работ страницы журналов пронумеровывают и их число заверяет руководитель работ.
6. В процессе полевых работ страницы с забракованными результатами измерений зачеркивают по диагонали одной чертой, указывают причину брака и номер страницы, содержащей результаты повторных измерений.
7. В каждом журнале на заглавном листе заполняют сведения о геодезическом приборе (марка, номер, средняя квадратическая погрешность измерения), записывают дату и время наблюдений, метеоусловия (погода, видимость и т. п.), фамилии исполнителей, приводят необходимые схемы, формулы и примечания.
8. Журнал должен заполняться таким образом, чтобы другой исполнитель, не участвующий в полевых работах, мог безошибочно выполнить последующую обработку результатов измерений. При заполнении полевых журналов следует придерживаться следующих форм записи:
а) числа в столбцах записываются так, чтобы все цифры соответствующих разрядов располагались одна под другой без смещения.
б) все результаты измерений, выполненных с одинаковой точностью, записывают с одинаковым числом знаков после запятой.

Пример
356,24 и 205,60 м — правильно,
356,24 и 205,6 м — неправильно;
в) значения минут и секунд при угловых измерениях и вычислениях всегда записывают двузначным числом.

Пример
127°07"05" , а не 127º7"5" ;

г) в числовых значениях результатов измерений записывают такое количество цифр, которое позволяет получить отсчетное устройство соответствующего средства измерений. Например, если длина линии измеряется рулеткой с миллиметровыми делениями и отсчитывание проводится с точностью до 1 мм, то отсчет должен быть записан 27,400 м, а не 27,4 м. Или если угломерный прибор позволяет отсчитывать только целые минуты, то отсчет запишется как 47º00", а не 47º или 47º00"00».

12.5.1. Понятие о правилах геодезических вычислений

К обработке результатов измерений приступают после проверки всех полевых материалов. При этом следует придерживаться выработанных практикой правил и приемов, соблюдение которых облегчает труд вычислителя и позволяет ему рационально использовать вычислительную технику и вспомогательные средства.
1. Перед началом обработки результатов геодезических измерений следует разработать подробную вычислительную схему, в которой указывается последовательность действий, позволяющая получить искомый результат наиболее простым и быстрым путем.
2. С учетом объема вычислительных работ выбирать наиболее оптимальные средства и способы вычислений, требующие наименьших затрат при обеспечении необходимой точности.
3. Точность результатов вычислений не может быть выше точности измерений. Поэтому заранее следует задаваться достаточной, но не излишней точностью вычислительных действий.
4. При вычислениях нельзя пользоваться черновиками, так как переписывание цифрового материала отнимает много времени и часто сопровождается ошибками.
5. Для записей результатов вычислений рекомендуется использование специальных схем, бланков и ведомостей, определяющих порядок расчетов и обеспечивающих промежуточный и общий контроль.
6. Без контроля вычисление не может считаться законченным. Контроль можно выполнять, используя другой ход (способ) решения задачи либо выполняя повторные вычисления другим исполнителем (в «две руки»).
7. Вычисления всегда заканчиваются определением погрешностей и обязательным их сравнением с допусками, предусматриваемыми соответствующими инструкциями.
8. Особые требования при вычислительных работах предъявляются к аккуратности и четкости записи чисел в вычислительных бланках, поскольку небрежности в записях приводят к ошибкам.
Как и в полевых журналах, при записях столбцов чисел в вычислительных схемах цифры одинаковых разрядов следует располагать одна под другой. При этом дробную часть числа отделяют запятой; многоразрядные числа желательно записывать с интервалами, например: 2 560 129,13. Записи вычислений следует вести только чернилами прямым шрифтом; ошибочные результаты аккуратно перечеркивать и сверху писать исправленные значения.
При обработке материалов измерений следует знать, с какой точностью должны быть получены результаты вычислений, чтобы не оперировать с излишним числом знаков; если окончательный результат вычисления получается с большим числом знаков, чем это необходимо, то производят округление чисел.

12.5.2. Округление чисел

Округлить число до n знаков - значит сохранить в нем первые n значащих цифр.
Значащие цифры числа - это все его цифры от первой слева, отличной от нуля, до последней записанной цифры справа. При этом нули справа не считаются значащими цифрами, если они заменяют неизвестные цифры или поставлены вместо других цифр при округлении данного числа.
Например, число 0,027 имеет две значащие цифры, а число 139,030 - шесть значащих цифр.

При округлении чисел следует придерживаться следующих правил.
1. Если первая из отбрасываемых цифр (считая слева направо) меньше 5, то последняя оставляемая цифра сохраняется без изменения.
Например, число 145,873 после округления до пяти значащих цифр будет 145,87.
2. Если первая из отбрасываемых цифр больше 5, то последняя оставляемая цифра увеличивается на единицу.
Например, число 73,5672 после округления его до четырех значащих цифр будет 73,57.
3. Если последней цифрой округляемого числа является цифра 5 и она должна быть отброшена, то предшествующую ей цифру в числе увеличивают на единицу только в том случае, если она нечетная (правило четной цифры).
Например, числа 45,175 и 81,325 после округления до 0,01 будут соответственно 45,18 и 81,32.

12.5.3. Графические работы

Ценность графических материалов (планов, карт и профилей), являющихся конечным результатом геодезических съемок, в значительной мере определяется не только точностью полевых измерений и правильностью вычислительной их обработки, но и качеством графического исполнения. Графические работы должны выполняться с помощью тщательно проверенных чертежных инструментов: линеек, треугольников, геодезических транспортиров, циркулей-измерителей, остро отточенных карандашей (Т и ТМ) и т. п. Большое влияние на качество и производительность чертежных работ оказывает организация рабочего места. Чертежные работы должны выполняться на листах качественной чертежной бумаги, закрепленных на ровном столе либо на специальной чертежной доске. Составленный карандашный оригинал графического документа после тщательной проверки и корректировки оформляют в туши в соответствии с установленными условными знаками.

Вопросы и задания для самоконтроля

1. Что значит выражение: «измерить какую-либо величину»?
2. Как классифицируют измерения?
3. Как классифицируют измерительные приборы?
4. Как классифицируют результаты измерений по точности?
5. Какие измерения называют равноточными?
6. Что означают понятия: «необходимое и избыточное число измерений»?
7. Как классифицируют ошибки измерения?
8. Чем обусловлены систематические погрешности?
9. Какими свойствами обладают случайные погрешности?
10. Что называют абсолютной (истинной) погрешностью?
11. Что называют относительной погрешностью?
12. Что называют в теории погрешностей средним арифметическим?
13. Что называют в теории погрешностей средней квадратической погрешностью?
14. Чему равна предельная средняя квадратическая погрешность?
15. Как соотносятся средняя квадратическая погрешность алгебраической суммы равноточных измерений и средняя квадратическая погрешность одного слагаемого?
16. Как соотносятся средняя квадратическая погрешность арифметического среднего и средняя квадратическая погрешность одного измерения?
17. Что показывает средняя квадратическая погрешность арифметического среднего?
18. Какай параметр принимают в качестве основы оценки весовых значений?
19. Как соотносятся вес арифметического среднего и вес единичного измерения?
20. Какие правила приняты в геодезии для ведения полевых журналов?
21. Перечислите основные правила геодезических вычислений.
22. Округлите до 0,01 числа 31,185 и 46,575.
23. Перечислите основные правила выполнения графических работ.

Под погрешностью измерения будем понимать совокупность всех ошибок измерения.

Ошибки измерений можно классифицировать на следующие виды:

Абсолютные и относительные,

Положительные и отрицательные,

Постоянные и пропорциональные,

Случайные и систематические,

Абсолютная ошибка А y ) определяется как разность следующих величин:

А y = y i - y ист.  y i -y ,

где: y i – единичный результат измерения;y ист. – истинный результат измерения;y – среднее арифметическое значение результата измерения (далее среднее).

Постоянной называется абсолютная ошибка, которая не зависит от значения измеряемой величины (y  y ).

Ошибка пропорциональная , если названная зависимость существует. Характер ошибки измерения (постоянная или пропорциональная) определяется после проведения специальных исследований.

Относительная ошибка единичного результата измерения (В y ) рассчитывается как отношение следующих величин:

Из этой формулы следует, что величина относительной ошибки зависит не только от величины абсолютной ошибки, но и от значения измеряемой величины. При неизменности измеряемой величины (y ) относительную ошибку измерения можно уменьшить только за счет снижения величины абсолютной ошибки (А y ). При постоянстве абсолютной ошибки измерения для уменьшения относительной ошибки измерения можно использовать прием увеличения значения измеряемой величины.

Знак ошибки (положительный или отрицательный) определяется разницей между единичным и полученным (средним арифметическим) результатом измерения:

y i -y > 0 (ошибка положительная );

y i -y < 0 (ошибка отрицательная ).

Грубая ошибка измерения (промах) возникает при нарушении методики измерения. Результат измерения, содержащий грубую ошибку, обычно значительно отличается по величине от других результатов. Наличие грубых ошибок измерения в выборке устанавливается только методамиматематической статистики (при числе повторений измерения n >2). С методами обнаружения грубых ошибок познакомьтесь самостоятельно в .

К случайным ошибкам относят ошибки, которые не имеют постоянной величины и знака. Такие ошибки возникают под действием следующих факторов: не известных исследователю; известных, но нерегулируемых; постоянно изменяющихся.

Случайные ошибки можно оценить только после проведения измерений.

Количественной оценкой модуля величины случайной ошибки измерения могут являться следующие параметры: выборочная дисперсия единичных значений и среднего значения; выборочные абсолютные стандартные отклонения единичных значений и среднего значения; выборочные относительные стандартные отклонения единичных значений и среднего значения; генеральная дисперсия единичных значений ), соответственно, и др.

Случайные ошибки измерения невозможно исключить, их можно только уменьшить. Один из основных способов уменьшения величины случайной ошибки измерения – это увеличение числа (объема выборки) единичных измерений (увеличение величины n ). Объясняется это тем, что величина случайных ошибок обратно пропорциональна величинеn , например:

.

Систематические ошибки – это ошибки с неизменными величиной и знаком или изменяющиеся по известному закону. Эти ошибки вызываются постоянными факторами. Систематические ошибки можно количественно оценивать, уменьшать и даже исключать.

Систематические ошибки классифицируют на ошибки I,IIиIIIтипов.

К систематическим ошибкам I типа относят ошибки известного происхождения, которые могут быть до проведения измерения оценены путем расчета. Эти ошибки можно исключить, вводя их в результат измерения в виде поправок. Примером ошибки такого типа является ошибка при титрометрическом определении объемной концентрации раствора, если титрант был приготовлен при одной температуре, а измерение концентрации проводилось при другой. Зная зависимость плотности титранта от температуры, можно до проведения измерения рассчитать изменение объемной концентрации титранта, связанное с изменением его температуры, и эту разницу учесть в виде поправки в результате измерения.

Систематические ошибки II типа – это ошибки известного происхождения, которые можно оценить только в ходе эксперимента или в результате проведения специальных исследований. К этому типу ошибок относят инструментальные (приборные), реактивные, эталонные и др. ошибки. Познакомьтесь с особенностями таких ошибок самостоятельно в .

Любой прибор при его применении в процедуре измерения вносит в результат измерения свои приборные ошибки. При этом часть этих ошибок случайная, а другая часть – систематическая. Случайные ошибки приборов отдельно не оценивают, их оценивают в общей совокупности со всеми другими случайными ошибками измерения.

Каждый экземпляр любого прибора имеет свою персональную систематическую ошибку. Для того чтобы оценить эту ошибку, необходимо проводить специальные исследования.

Наиболее надежный способ оценки приборной систематической ошибки IIтипа – это сверка работы приборов по эталонам. Для мерной посуды (пипетка, бюретка, цилиндры и др.) проводят специальную процедуру – калибровку.

На практике наиболее часто требуется не оценить, а уменьшить или исключить систематическую ошибку IIтипа. Самыми распространенными методами уменьшения систематических ошибок являютсяметоды релятивизации и рандомизации .Познакомьтесь с этими методами самостоятельно в .

К ошибкам III типа относят ошибки неизвестного происхождения. Эти ошибки можно обнаружить только после устранения всех систематических ошибокIиIIтипов.

К прочим ошибкам отнесем все другие виды ошибок, не рассмотренные выше (допускаемые, возможные предельные ошибки и др.).

Понятие возможных предельных ошибок применяется в случаях использования средств измерения и предполагает максимально возможную по величине инструментальную ошибку измерения (реальное же значение ошибки может быть меньше величины возможной предельной ошибки).

При использовании средств измерения можно рассчитать возможную предельную абсолютную (
) или относительную (
) погрешность измерения. Так, например, возможная предельная абсолютная погрешность измерения находится как сумма возможных предельных случайных (
) и неисключенных систематических (
) ошибок:

=
+

При выборках малого объема (n 20) неизвестной генеральной совокупности, подчиняющейся нормальному закону распределения, случайные возможные предельные ошибки измерений можно оценить следующим образом:

= =
,

где: – доверительный интервал для соответствующей вероятностиР ;

–квантиль распределения Стьюдента для вероятности Р и выборки объемомn или при числе степеней свободыf = n – 1.

Абсолютная возможная предельная погрешность измерения в этом случае будет равна:

=
+
.

Если результаты измерений не подчиняются нормальному закону распределения, то оценка погрешностей проводится по другим формулам.

Определение величины
зависит от наличия у средства измерения класса точности. Если средство измерения не имеет класса точности, тоза величину
можно принять минимальную цену деления шкалы (или ее половину) средства измерения . Для средства измерения с известным классом точности за величину
можно принять абсолютнуюдопускаемую систематическую ошибку средства измерения (
):


.

Величина
рассчитывается исходя из формул, приведенных в табл. 2.

Для многих средств измерения класс точности указывается в виде чисел а 10 n , гдеа равно 1; 1,5; 2; 2,5; 4; 5; 6 иn равно 1; 0; -1; -2 и т.д., которые показывают величину возможной предельной допускаемой систематической ошибки (Е y , доп. ) и специальных знаков, свидетельствующих о ее типе (относительная, приведенная, постоянная, пропорциональная).

Если известны составляющие абсолютной систематической ошибки среднего арифметического результата измерения (например, приборная ошибка, ошибка метода и др.), то ее можно оценить по формуле

,

где: m – число составляющих систематическую ошибку среднего результата измерения;

k – коэффициент, определяемый вероятностьюР и числомm ;

–абсолютная систематическая ошибка отдельной составляющей.

Отдельными составляющими погрешности можно пренебрегать при выполнении соответствующих условий.

Таблица 2

Примеры обозначения классов точности средств измерения

Систематическими ошибками можно пренебрегать, если выполняется неравенство

0,8.

В этом случае принимают



.

Случайными ошибками можно пренебречь при условии

8.

Для этого случая

.

Чтобы общая погрешность измерения определялась только систематическими ошибками, увеличивают число повторных измерений. Минимально необходимое для этого число повторных измерений (n min) можно рассчитать только при известном значении генеральной совокупности единичных результатов по формуле

.

Оценка погрешностей измерения зависит не только от условий измерения, но и от типа измерения (прямое или косвенное).

Деление измерений на прямые и косвенные достаточно условно. В дальнейшем под прямыми измерениями будем понимать измерения значения которых берут непосредственно из опытных данных, например, считывают со шкалы прибора (широко известный пример прямого измерения –измерение температуры термометром). Ккосвенным измерениям будем относить такие, результат которых получают на основании известной зависимости между искомой величиной и величинами, определяемыми в результате прямых измерений. При этомрезультат косвенного измеренияполучают расчетным путем как значение функции , аргументами которой являются результаты прямых измерений (x 1 ,x 2 , …,x j,. …,x k).

Необходимо знать, что ошибки косвенных измерений всегда больше, чем ошибки отдельных прямых измерений.

Ошибки косвенных измерений оцениваются по соответствующим законам накопления ошибок (приk 2).

Закон накопления случайных ошибок косвенных измерений выглядит следующим образом:

.

Закон накопления возможных предельных абсолютных систематических ошибок косвенных измерений представляется следующими зависимостями:

;
.

Закон накопления возможных предельных относительных систематических ошибок косвенных измерений имеет следующий вид:

;

.

В случаях, когда искомая величина (y ) рассчитывается как функция результатов нескольких независимых прямых измерений вида
, закон накопления предельных относительных систематических ошибок косвенных измерений принимает более простой вид:

;
.

Ошибки и погрешности измерений определяют их точность, воспроизводимость и правильность.

Точность тем выше, чем меньше величина погрешности измерения.

Воспроизводимость результатов измерений улучшается при уменьшении случайных ошибок измерений.

Правильность результата измерений увеличивается с уменьшением остаточных систематических ошибок измерений.

Более подробно с теорией ошибок измерений и их особенностями познакомьтесь самостоятельно . Обращаю ваше внимание на то, что современные формы представления конечных результатов измерений обязательно требуют приведения ошибок или погрешностей измерения (вторичных данных). При этом погрешности и ошибки измерений должны представляться числами, которые содержат не более двух значащих цифр .

Аналитическая химия

УДК 543.08+543.422.7

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ПОГРЕШНОСТЕЙ ФОТОМЕТРИИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЗАКОНА НАКОПЛЕНИЯ ОШИБОК И МЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО

В.И. Голованов, ЕМ Данилина

В вычислительном эксперименте, при сочетании закона распространения ошибок и метода Монте-Карло, исследовано влияние погрешностей приготовления растворов, погрешностей холостого опыта и погрешностей измерения пропускания на метрологические характеристики фотометрического анализа. Найдено, что результаты прогнозирования погрешностей аналитическим и статистическим методами взаимосогласованы. Показано, что особенностью метода Монте-Карло является возможность прогнозирования закона распределения погрешностей в фотометрии. На примере сценария рутинного анализа рассмотрено влияние гетероскедастичности разброса вдоль градуировочного графика на качество анализа.

Ключевые слова: фотометрический анализ, закон накопления ошибок, градуировочный график, метрологические характеристики, метод Монте-Карло, стохастическое моделирование.

Введение

Прогнозирование погрешностей фотометрического анализа в основном строят на использовании закона накопления ошибок (ЗНО) . Для случая линейной формы закона светопогло-щения: - 1§Т = А = в1с, ЗНО обычно записывают уравнением:

8А _ 8С _ 0,434-10^

А ‘8Т-

При этом стандартное отклонение измерения степени пропускания предполагается постоянным во всем динамическом интервале фотометра. Вместе с тем, как отмечают в , кроме аппаратурных погрешностей на точность анализа влияют погрешность холостого опыта, погрешность настройки пределов шкалы прибора, кюветная погрешность, химические факторы, погрешность установки аналитической длины волны. Эти факторы считают основными источниками погрешности результата анализа. Вкладами в накопленную погрешность точности приготовления градуировочных растворов обычно пренебрегают.

Отсюда видим, что уравнение (1) не имеет существенной прогностической силы, поскольку учитывает влияние только одного фактора. Кроме того, уравнение (1) является следствием приближенного разложения закона светопоглощения в ряд Тейлора. Отсюда возникает вопрос о его точности, обусловленной пренебрежением членами разложения выше первого порядка. Математический анализ остатков разложения сопряжен с вычислительными трудностями и в практике химического анализа не применяется.

Целью данной работы является изучение возможности применения метода Монте-Карло (метода статистических испытаний) в качестве независимого метода для изучения и прогнозирования накопления погрешностей фотометрического анализа, дополняющего и углубляющего возможности ЗНО.

Теоретическая часть

В этой работе будем полагать, что итоговая случайная погрешность градуировочной функции обусловлена не только инструментальными погрешностями измерения оптической плотности, но и погрешностями настройки шкалы прибора на 0 и 100 % пропускания (погрешность хо-

лостого опыта), а также погрешностями приготовления градуировочных растворов. Другими, названными выше, источниками погрешностей пренебрегаем. Тогда перепишем уравнение закона Бугера-Ламберта-Бэра в удобной для дальнейшего построения форме:

Аы = кс" + А

В этом уравнении с51 - концентрации головного стандартного раствора окрашенного вещества, аликвоты (Уа) которого разбавляют в колбах с номинальным объёмом Уд для получения градуировочной серии растворов, Аы - оптическая плотность раствора холостого опыта. Поскольку при фотометрировании оптическую плотность испытуемых растворов измеряют относительно холостого раствора, т. е. Аы принимают за условный нуль, то Аы = 0. (Заметим, что измеренное при этом значение оптической плотности можно называть условной экстинкцией.) В уравнении (2) безразмерная величина с" имеет смысл концентрации рабочего раствора, выраженной в единицах концентрации головного стандарта. Коэффициент к назовем экстинкцией стандарта, поскольку А§1 = е1с81 при с" = 1.

Применим к выражению (2) оператор закона накопления случайных ошибок, полагая Уа, Уд и Аы случайными величинами. Получаем:

Еще одной независимой случайной величиной, влияющей на разброс значений А, является степень пропускания, поскольку

А = -1§Т, (4)

поэтому к дисперсиям в левой части уравнения (3) добавляем еще одно слагаемое:

52а=(0,434-10а)Ч+8Іьі +

В этой окончательной записи закона накопления ошибок постоянны абсолютные стандартные отклонения Т, Аы и Уд, а для Уа постоянна относительная стандартная погрешность.

При построении стохастической модели градуировочной функции на основе метода Монте-Карло считаем, что возможные значения х* случайных величин Т, Аы Уа и Уд, распределены по нормальному закону. Согласно принципу Монте-Карло, возможные значения будем разыгрывать по методу обратной функции :

X; =М(х1) + р-1(г])-вХ|, (6)

где М(х) - математическое ожидание (действительное значение) переменной, ¥(г^) - функция Лапласа-Гаусса, ц - возможные значения равномерно распределенной на интервале (0,1) случайной величины Я, т. е. случайные числа, зх - стандартное отклонение соответствующей переменной, \ = 1...т - порядковый номер независимой случайной величины. После подстановки выражения (6) в уравнения (4) и (2) имеем:

А" = -18Хі=-1810-а +Р-1(г])8т,

где А" = "к-+ х2

Вычисления по уравнению (7) возвращают отдельную реализацию градуировочной функции, т.е. зависимость А" от математического ожидания М(с") (номинального значения с"). Поэтому запись (7) является аналитическим выражением случайной функции . Сечения этой функции получают при многократном разыгрывании случайных чисел в каждой точке градуировочной зависимости. Выборочную совокупность реализаций обрабатывают методами математической статистики с целью оценивания генеральных параметров градуировки и проверки гипотез о свойствах генеральной совокупности.

Очевидно, что рассматриваемые нами два подхода к проблеме прогнозирования метрологических характеристик в фотометрии - на основе ЗНО, с одной стороны, и на основе метода Монте-Карло, с другой, должны дополнять друг друга. В частности, из уравнения (5) можно получить результат при гораздо меньшем, по сравнению с (7), объёме вычислений, а также проранжиро-

вать случайные величины по значимости их вкладов в результирующую погрешность. Ранжирование позволяет отказаться от отсеивающего эксперимента при статистических испытаниях и априори исключить из рассмотрения малозначимые переменные. Уравнение (5) несложно проанализировать математически для того, чтобы судить о характере вкладов факторов в общую дисперсию. Частные вклады факторов можно подразделить на независящие от А, либо возрастающие с увеличением оптической плотности. Поэтому sA как функция А должна быть монотонно возрастающей зависимостью, лишенной минимума. При аппроксимации экспериментальных данных уравнением (5) частные вклады одинакового характера будут смешиваться, например, юоветная погрешность может смешиваться с погрешностью холостого опыта. С другой стороны, при статистических испытаниях модели методом Монте-Карло можно выявить такие важные свойства градуировочного графика как закон (законы) распределения погрешностей, а также оценить быстроту сходимости выборочных оценок к генеральным. На основе ЗНО такой анализ невозможен.

Описание вычислительного эксперимента

При построении имитационной модели градуирования полагаем, что градуировочная серия растворов приготовлена в мерных колбах с номинальной вместимостью 50 мл и предельной погрешностью +0,05 мл. В серию колб добавляют от 1 до 17 мл головного стандартного раствора с погрешностью пипетирования > 1 %. Погрешности измерения объёмов оценивали по справочнику . Аликвоты вносят с равномерным шагом 1 мл. Всего в серии 17 растворов, оптическая плотность которых охватывает интервал от 0,1 до 1,7 ед. Тогда в уравнении (2) коэффициент к = 5. Погрешность холостого опыта принимаем на уровне 0,01 ед. оптической плотности. Погрешности измерения степени пропускания, согласно , зависят только от класса прибора и находятся в интервале от 0,1 до 0,5 % Т.

Для большей привязки условий вычислительного эксперимента к лабораторному эксперименту воспользовались данными по воспроизводимости измерений оптических плотностей растворов К2Сг207 в присутствие 0,05 М H2S04 на спектрофотометре СФ-26. Авторы аппроксимируют экспериментальные данные на интервале А = 0,1... 1,5 уравнением параболы:

sBOCn*103 =7,9-3,53A + 10,3A2. (8)

Нам удалось подогнать расчеты по теоретическому уравнению (5) к расчетам по эмпирическому уравнению (8) с использованием оптимизационного метода Ньютона. Нашли, что уравнение (5) удовлетворительно описывает эксперимент при s(T) = 0,12 %, s(Abi) = 0,007 и s r(Va) = 1,1 %.

Приведенные в предыдущем абзаце независимые оценки погрешностей хорошо согласуются с найденными при подгонке. Для вычислений по уравнению (7) создана программа в виде формы листа электронных таблиц MS Excel. Наиболее существенной особенностью нашей Excel-программы является использование выражения НОРМСТОБР(СЛЧИС()) для генерирования нормально распределенных погрешностей, см. уравнение (6). В специальной литературе по статистическим вычислениям в Excel подробно описана утилита «Генерация случайных чисел», которую во многих случаях предпочтительно заменять на функции типа НОРМСТОБР(СЛЧИС()). Такая замена особенно удобна при создании собственных программ для моделирования методом Монте-Карло.

Результаты и их обсуждение

Прежде чем приступать к статистическим испытаниям, оценим вклады слагаемых в левой части уравнения (5) в общую дисперсию оптической плотности. Для этого каждое слагаемое нормируют на общую дисперсию. Расчеты выполнены при s(T) = 0,12%, s(Aw) = 0,007, Sr(Va)=l,l % и s(Vfi) = 0,05. Результаты вычислений показаны на рис. 1. Видим, что вкладами в общую дисперсию погрешностей измерения Vfl можно пренебречь.

Тогда как вклады другой, влияющей на погрешности приготовления растворов, величины Va

доминируют в интервале оптических плотностей 0,8__1,2. Однако этот вывод не имеет общего

характера, поскольку при измерениях на фотометре с s(T) = 0,5 % погрешности градуировки, согласно расчету, определяются главным образом, разбросом Аы и разбросом Т. На рис. 2 сравниваются относительные ошибки измерений оптических плотностей, прогнозируемых на основе ЗНО (сплошная линия) и метода Монте-Карло (значки). При статистических испытаниях кривую

ошибок восстанавливали по 100 реализациям градуировочной зависимости (1700 значениям оптических плотностей). Видим, что оба прогноза взаимно согласованы. Точки равномерно группируются возле теоретической кривой. Однако даже при таком, довольно внушительном, статистическом материале полной сходимости не наблюдается. Во всяком случае, разброс не позволяет выявить приближенный характер ЗНО, см. введение.

0 0.4 0.8 1.2 1.6

Рис. 1. Весовые вклады слагаемых уравнения (5) в дисперсию А: 1 - для Аы; 2 - для Уа; 3 - для Т; 4 - для

Рис. 2. Кривая погрешностей градуировочного графика

Из теории математической статистики известно , что при интервальном оценивании математического ожидания случайной величины надежность оценивания повышается, если известен закон распределения для этой величины. Кроме того, в случае нормального распределения оценка является наиболее эффективной. Поэтому исследование закона распределения погрешностей градуировочного графика является важной задачей. При таком исследовании, прежде всего, проверяют гипотезу нормальности разброса оптических плотностей в отдельных точках графика.

Простым способом проверки основной гипотезы являются вычисления коэффициентов асимметрии (а) и коэффициентов эксцесса (е) эмпирических распределений, а также их сравнение с критериальными значениями. Надежность статистических выводов повышается при увеличении объёма выборочных данных. На рис. 3 приведены последовательности коэффициентов для 17 сечений градуировочной функции. Коэффициенты вычислены по результатам 100 испытаний в каждой точке. Критические значения коэффициентов для нашего примера равны |а| = 0,72 и |е| = 0,23.

Из рис. 3 можно сделать вывод о том, что рассеяние значений в точках графика, в целом, не

противоречит гипотезе нормальности, поскольку последовательности коэффициентов почти не имеют предпочтительной направленности. Коэффициенты случайным образом локализуются вблизи нулевой линии (показана пунктиром). Для нормального распределения, как известно, математическим ожиданием коэффициента асимметрии и коэффициента эксцесса является нуль. Судя по тому, что при всех сечениях коэффициенты асимметрии существенно ниже критического значения, можно уверенно говорить о симметричности распределения погрешностей градуирования. Возможно, что распределения погрешностей обладают небольшой остроконечностью по сравнению с нормальной кривой распределения. Этот вывод следует из наблюдающегося на рис. 3 небольшого поло-

Рис. 3. Коэффициенты эксцесса (1) и коэффициенты асимметрии (2) в точках градуировочного графика

жительного смещения центральной линии рассеяния коэффициентов эксцесса. Таким образом, из исследования модели обобщенной градуировочной функции фотометрического анализа методом Монте-Карло (2), можно сделать вывод о близком к нормальному распределении погрешностей градуирования. Поэтому вычисления доверительных интервалов для результатов фотометрического анализа с использованием коэффициентов Стьюдента можно считать вполне оправданными.

При выполнении стохастического моделирования была оценена быстрота сходимости выборочных кривых погрешностей (см. рис. 2) к математическому ожиданию кривой. За математическое ожидание кривой погрешностей примем расчитанную из ЗНО кривую. Близость результатов статистических испытаний с различным числом реализаций градуировки п к теоретической кривой оценим коэффициентом неопределенности 1 - Я2. Этот коэффициент характеризует долю вариации в выборке, которую не удалось описать теоретически. Нами установлено, что зависимость коэффициента неопределенности от числа реализаций градуировочной функции можно описать эмпирическим уравнением I - К2 = -2,3п-1 + 1,6п~/а -0,1. Из уравнения получаем, что при п = 213 следует ожидать практически полного совпадения теоретической и эмпирической кривых погрешностей. Таким образом, состоятельную оценку погрешностей фотометрического анализа можно получить только на довольно большом статистическом материале.

Рассмотрим возможности метода статистических испытаний для прогнозирования результатов регресионного анализа градуировочного графика и использования графика при определении концентраций фотометрируемых растворов. Для этого в качестве сценария выберем измерительную ситуацию рутинного анализа. Построение графика осуществляют при однократных измерениях оптических плотностей серии стандартных растворов. Концентрацию анализируемого раствора находят из графика по 3-4 результатам параллельных измерений. При выборе регрессионной модели следует принять во внимание то, что разброс оптических плотностей в различных точках градуировочного графика неодинаков, см. уравнение (8). В случае гетероекедастичного разброса рекомендуют использовать схему взвешенного метода наименьших квадратов (ВМНК). Однако в литературе мы не встретили четких указаний на причины, по которым классическая схема МНК, одним из условий применимости которой является требование гомоскеда-стичности разброса, менее предпочтительна. Эти причины можно установить при обработке одного и того же статистического материала, полученного методом Монте-Карло по сценарию рутинного анализа, двумя вариантами МНК - классическим и взвешенным.

В результате регрессионного анализа только одной реализации градуировочной функции получены следующие МНК-оценки: к = 4,979 при Бк = 0,023. При оценке тех же характеристик ВМНК получаем к = 5,000 при Бк = 0,016. Регрессии восстанавливали по 17 стандартным растворам. Концентрации в градуировочной серии возрастали в арифметической прогрессии, а оптические плотности изменялись столь же равномерно на интервале от 0,1 до 1,7 ед. В случае ВМНК статистические веса точек градуировочного графика находили с использованием рассчитанных по уравнению (5) дисперсий.

Дисперсии оценок к тем и другим методом статистически неразличимы по критерию Фишера при 1 %-ном уровне значимости. Однако при том же уровне значимости МНК-оценка к отличается от ВМНК-оценки по 1;-критерию. МНК-оценка коэффициента градуировочного графика смещена относительно действительного значения М(к) = 5,000, судя по 1>тесту при 5 %-ном уровне значимости. Тогда как взвешенный МНК дает оценку, которая не содержит систематической погрешности.

Теперь выясним, каким образом пренебрежение гетероскедастичностью может отразиться на качестве химического анализа. В таблице приведены результаты имитационного эксперимента по анализу 17 контрольных проб окрашенного вещества с различной концентрацией. Причем каждая аналитическая серия включала четыре раствора, т.е. для каждой пробы выполнено по четыре параллельных определения. Для обработки результатов использовали две разные градуировочные зависимости: одна была восстановлена простым МНК, а вторая - взвешенным. Полагаем, что контрольные растворы приготовлялись для анализа точно так же, как градуировочные.

Из таблицы видим, что действительные значения концентраций контрольных растворов как в случае ВМНК, так и в случае МНК не выходят за пределы доверительных интервалов, т. е. результаты анализа не содержат значимых систематических погрешностей. Предельные погрешности того и другого метода статистически не различаются, иными словами, и та и другая оценка

Сравнение результатов определения концентраций обладает одинаковой эффективностью. От-

контрольных растворов двумя методами сюда можно сделать вывод о том, что при

рутинных анализах использование простой схемы невзвешенного МНК вполне оправдано. Применение ВМНК предпочтительней, если исследовательской задачей является только определение молярной экстинкции. С другой стороны, следует иметь в виду, что сделанные нами выводы имеют статистический характер. Вполне вероятно, что при увеличении числа параллельных определений гипотеза о несмещенности МНК-оценок концентраций не найдет подтверждения, даже если систематические погрешности с практической точки зрения несущественны.

Обнаруженное нами достаточно высокое качество анализа на основе простой схемы классического МНК кажется особенно неожиданным, если принять во внимание то, что на интервале оптических плотностей 0,1 ч- 1,7 наблюдается весьма сильная гете-роскедастичность. О степени неоднородности данных можно судить по весовой функции, которая хорошо аппроксимируется полиномом w = 0,057А2 - 0,193А + 0,173. Из этого уравнения следует, что в крайних точках градуировки статистические веса различаются более чем в 20 раз. Однако обратим внимание на то, что градуировочные функции восстанавливали по 17 точкам графика, тогда как при анализе выполняли только 4 параллельных определения. Поэтому обнаруженное нами значимое различие МНК и ВМНК градуировочных функций и незначительное различие результатов анализа с использованием этих функций можно объяснить существенно различным числом степеней свободы, которыми располагали при построении статистических выводов.

Заключение

1. Предложен новый подход к стохастическому моделированию в фотометрическом анализе на основе метода Монте-Карло и закона накопления ошибок с использованием табличного процессора Excel.

2. По 100 реализациям градуировочной зависимости показано, что прогнозирование погрешностей аналитическим и статистическим методом взаимосогласованы.

3. Изучены коэффициенты асимметрии и эксцесса вдоль градуировочного графика. Найдено, что вариации погрешностей градуирования подчиняются закону распределения, близкому к нормальному.

4. Рассмотрено влияние гетероскедастичности разброса оптических плотностей при градуировании на качество анализа. Обнаружено, что при рутинных анализах использование простой схемы невзвешенного МНК не приводит к заметному снижению точности результатов анализа.

Литература

1. Бернштейн, И.Я. Спектрофотометрический анализ в органической химии / И.Я. Бернштейн, Ю.Л. Каминский. - Л.: Химия, 1986. - 200 с.

2. Булатов, М.И. Практическое руководство по фотометрическим методам анализа / М.И. Булатов, И.П. Калинкин. - Л.: Химия, 1986. - 432 с.

3. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика / В.Е. Гмурман. - М.: Высшая школа, 1977. - 470 с.

№ с", с", найдено (Р = 95 %)

п/и задано МНК ВМНК

1 0,020 0,021±0,002 0,021±0,002

2 0,040 0,041±0,001 0,041 ±0,001

3 0,060 0,061±0,003 0,061 ±0,003

4 0,080 0,080±0,004 0,080±0,004

5 0,100 0,098±0,004 0,098±0,004

6 0,120 0,122±0,006 0,121±0,006

7 0,140 0,140±0,006 0,139±0,006

8 0,160 0,163±0,003 0,162±0,003

9 0,180 0,181±0,006 0,180±0,006

10 0,200 0,201±0,002 0,200±0,002

11 0,220 0,219±0,008 0,218±0,008

12 0,240 0,242±0,002 0,241±0,002

13 0,260 0,262±0,008 0,261±0,008

14 0,280 0,281±0,010 0,280±0,010

15 0,300 0,307±0,015 0,306±0,015

16 0,320 0,325±0,013 0,323±0,013

17 0,340 0,340±0,026 0,339±0,026

4. Правдин, П В. Лабораторные приборы и оборудование из стекла / П.В. Правдин. - М.: Химия, 1988.-336 с.

5. Макарова, Н.В. Статистика в Excel / Н.В. Макарова, В.Я. Трофимец. - М.: Финансы и статистика, 2002. - 368 с.

PREDICTION OF ERRORS IN PHOTOMETRY WITH THE USE OF ACCUMULATION OF ERRORS LAW AND MONTE CARLO METHOD

During computing experiment, in combination of the accumulation of errors law and Monte Carlo method, the influence of solution-making errors, blank experiment errors and optical transmission measurement errors upon metrological performance of photometrical analysis has been studied. It has been shown that the results of prediction by analytical and statistical methods are interconsistent. The unique feature of Monte Carlo method has been found to enable prediction of the accumulation of errors law in photometry. For the version of routine analysis the influence of heteroscedasticity of dispersion along calibration curve upon analysis quality has been studied.

Keywords: photometric analysis, accumulation of errors law, calibration curve, metrological performance, Monte Carlo method, stochastic modeling.

Golovanov Vladimir Ivanovich - Dr. Sc. (Chemistry), Professor, Head of the Analytical Chemistry Subdepartment, South Ural State University.

Голованов Владимир Иванович - доктор химических наук, профессор, заведующий кафедрой Аналитической химии, Южно-Уральский государственный университет.

E-mail: [email protected]

Danilina Elena Ivanovna - PhD (Chemistry), Associate Professor, Analytical Chemistry Subdepartment, South Ural State University.

Данилина Елена Ивановна - кандидат химических наук, доцент, кафедра «Аналитическая химия», Южно-У ральский государственный университет.

1.2.10. Обработка косвенных измерений.

При косвенных измерениях искомое значение физической величины Y находят на основании результатов X 1 , X 2 , … X i , … X n , прямых измерений других физических величин, связанных с искомой известной функциональной зависимостью φ:

Y = φ(X 1 , X 2 , … X i , … X n ). (1.43)

Предполагая, что X 1 , X 2 , … X i , … X n – исправленные результаты прямых измерений, а методическими погрешностями косвенного измерения можно пренебречь, результат косвенного измерения можно найти непосредственно по формуле (1.43).

Если ΔX 1 , ΔX 2 , … ΔX i , … ΔX n – погрешности результатов прямых измерений величин X 1 , X 2 , … X i , … X n , то погрешность Δ результата Y косвенного измерения в линейном приближении может быть найдена по формуле

Δ = . (1.44)

Слагаемое

(1.45)

– составляющую погрешности результата косвенного измерения, вызванная погрешностью ΔX i результата X i прямого измерения – называют частной погрешностью, а приближенную формулу (1.44) – законом накопления частных погрешностей . {1К22}

Для оценки погрешности Δ результата косвенного измерения необходимо иметь ту или иную информацию о погрешностях ΔX 1 , ΔX 2 , … ΔX i , … ΔX n результатов прямых измерений.

Обычно известны предельные значения составляющих погрешностей прямых измерений. Например, для погрешности ΔX i известны: предел основной погрешности, пределы дополнительных погрешностей, предел неисключенных остатков систематической погрешности и т.д. Погрешность ΔX i равна сумме этих погрешностей:

,

а предельное значение этой погрешности ΔX i ,п – сумме пределов:

. (1.46)

Тогда предельное значение Δ п погрешности результата косвенного измерения P = 1 можно найти по формуле

Δ п =
. (1.47)

Граничное значение Δ г погрешности результата косвенного измерения для доверительной вероятности P = 0,95 можно найти по приближенной формуле (1.41). С учетом (1.44) и (1.46) получим:

. (1.48)

После расчета Δ п или Δ г результат косвенного измерения следует записать с стандартной форме (соответственно, (1.40) или (1.42)). {1П3}

ВОПРОСЫ:

1. Для решения каких задач используются средств измерительной техники? Какие метрологические характеристики средств измерительной техники Вам известны?

2. По каким признакам классифицируются метрологические характеристики средств измерительной техники?

3. Какая составляющая погрешности средства измерений называется основной ?

4. Какая составляющая погрешности средства измерений называется дополнительной ?

5. Дайте определения абсолютной, относительной и приведенной погрешности средства измерений.

6. Дайте определения абсолютной погрешности измерительного преобразователя по входу и выходу .

7. Как бы Вы экспериментально определили погрешности измерительного преобразователя по входу и выходу ?

8. Как взаимосвязаны абсолютные погрешности измерительного преобразователя по входу и выходу ?

9. Дайте определения аддитивной, мультипликативной и нелинейной составляющих погрешности средства измерительной техники .

10. Почему нелинейную составляющую погрешности средства измерительной техники называют иногда погрешностью линейности ? Для каких функций преобразования измерительных преобразователей это имеет смысл?

11. Какую информацию о погрешности средства измерений дает его класс точности ?

12. Сформулируйте закон накопления частных погрешностей.

13. Сформулируйте задачу суммирования погрешностей.

15. Что такое исправленное значение результата измерения ?

16. Какова цель обработки результатов измерений ?

17. Как рассчитать предельное значение Δ п погрешности результата прямого измерения для доверительной вероятности P = 1 и ее граничное значение Δ г для P = 0,95?

18. Какое измерение называют косвенным ? Как найти результат косвенного измерения ?

19. Как рассчитать предельное значение Δ п погрешности результата косвенного измерения для доверительной вероятности P = 1 и ее граничное значение Δ г для P = 0,95?

20. Приведите примеры методических погрешностей прямых и косвенных измерений.

Контрольные работы по подразделу 1.2 приведены в {1КР1} .

ЛИТЕРАТУРА к разделу 1.

2. МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН

2.1. Измерение напряжений и токов.

2.1.1. Общие сведения.

При выборе средства измерений электрических напряжений и токов необходимо, прежде всего, учитывать:

Род измеряемой физической величины (напряжение или ток);

Наличие и характер зависимости измеряемой величины от времени на интервале наблюдения (зависит или нет, зависимость представляет собой периодическую или непериодическую функцию и т.д.);

Диапазон возможных значений измеряемой величины;

Измеряемый параметр (среднее значение, действующее значение, максимальное значение на интервале наблюдения, множество мгновенных значений на интервале наблюдения и т.п.);

Частотный диапазон;

Требуемую точность измерений;

Максимальный интервал времени наблюдения.

Кроме того, приходится учитывать диапазоны значений влияющих величин (температуры окружающего воздуха, напряжения питания средства измерений, выходного сопротивления источника сигнала, электромагнитных помех, вибраций, влажности и т.д.), зависящие от условий проведения измерительного эксперимента.

Диапазоны возможных значений напряжений и токов весьма широки. Например, токи могут быть порядка 10 -16 А при измерениях в космосе и порядка 10 5 А - в цепях мощных энергетических установках. В данном разделе рассматриваются, в основном, измерения напряжений и токов в наиболее часто встречающихся на практике диапазонах: от 10 -6 до 10 3 В и от 10 -6 до 10 4 А.

Для измерения напряжений используют аналоговые (электромеханические и электронные) и цифровые вольтметры {2К1} , компенсаторы (потенциометры) постоянного и переменного тока, аналоговые и цифровые осциллографы и измерительные системы.

Для измерений токов используют электромеханические амперметры {2К2} , а также мультиметры и измерительные системы, в которых измеряемый ток преобразуется предварительно в пропорциональное ему напряжение. Кроме того, для экспериментального определения токов используют косвенный метод, измеряя напряжение, вызванное прохождением тока через резистор с известным сопротивлением.

2.1.2. Измерение постоянных напряжений электромеханическими приборами.

Для создания вольтметров используют следующие измерительные механизмы {2К3} : магнитоэлектрический {2К4} , электромагнитный {2К5} , электродинамический {2К6} , ферродинамический {2К7} и электростатический {2К8} .

В магнитоэлектрическом измерительном механизме вращающий момент пропорционален току в подвижной катушке. Для построения вольтметра последовательно с обмоткой катушки включают добавочное сопротивление. Измеряемое напряжение, подаваемое на это последовательное соединение, пропорционально току в обмотке; поэтому шкалу прибора можно градуировать в единицах напряжения. Направление вращающего момента зависит от направления тока, поэтому необходимо обращать внимание на полярность подаваемого на вольтметр напряжения.

Входное сопротивление R вх магнитоэлектрического вольтметра зависит от конечного значения U к диапазона измерений и тока полного отклонения I по – тока в обмотке катушки, при котором стрелка прибора отклонится на всю шкалу (установится на отметке U к). Очевидно, что

R вх = U к /I по. (2.1)

В многопредельных приборах часто нормируют не значение R вх, а ток I по. Зная напряжение U к для используемого в данном эксперименте диапазона измерений, значение R вх можно рассчитать по формуле (2.1). Например, для вольтметра с U к = 100 В и I по = 1 мА R вх = 10 5 Ом.

Для построения электромагнитных, электродинамических и ферродинамических вольтметров используют аналогичную схему, только добавочное сопротивление включают последовательно с обмоткой неподвижной катушки электромагнитного измерительного механизма или с предварительно последовательно соединенными обмотками подвижной и неподвижной катушек электродинамического или ферродинамического измерительных механизмов. Токи полного отклонения для этих измерительных механизмов обычно существенно больше, чем для магнитоэлектрического, поэтому входные сопротивления вольтметров меньше.

В электростатических вольтметрах используют электростатический измерительный механизм. Измеряемое напряжение подают между изолированными друг от друга неподвижными и подвижными пластинами. Входное сопротивление определяется сопротивлением изоляции (порядка 10 9 Ом).

Наиболее распространенные электромеханические вольтметры с классами точности 0,2. 0,5, 1,0, 1,5 позволяют измерять постоянные напряжения в диапазоне от 0,1 до 10 4 В. Для измерения больших напряжений (обычно более 10 3 В) используют делители напряжения {2К9} . Для измерения напряжений менее 0,1 В можно применять магнитоэлектрические гальванометры {2К10} и приборы на их основе (например, фотогальванометрические приборы), однако целесообразнее использовать цифровые вольтметры.

2.1.3. Измерение постоянных токов электромеханическими приборами.

Для создания амперметров используют следующие измерительные механизмы {2К3} : магнитоэлектрический {2К4} , электромагнитный {2К5} , электродинамический {2К6} и ферродинамический {2К7} .

В простейших однопредельных амперметрах цепь измеряемого тока состоит из обмотки подвижной катушки (для магнитоэлектрического измерительного механизма), обмотки неподвижной катушки (для электромагнитного измерительного механизма) или последовательно включенных обмоток подвижной и неподвижной катушек (для электродинамического и ферродинамического измерительных механизмов). Таким образом, в отличие от цепей вольтметров, в них отсутствуют добавочные сопротивления.

Многопредельные амперметры строят на базе однопредельных, используя различные приемы для уменьшения чувствительности. Например, пропуская измеряемый ток через часть обмотки катушки или включая обмотки катушек параллельно. Используют также шунты – резисторы с относительно малыми сопротивлениями, включаемые параллельно обмоткам.

Наиболее распространенные электромеханические амперметры с классами точности 0,2. 0,5, 1,0, 1,5 позволяют измерять постоянные токи в диапазоне от 10 -6 до 10 4 А. Для измерения токов менее 10 -6 А можно применять магнитоэлектрические гальванометры {2К10} и приборы на их основе (например, фотогальванометрические приборы).

2.1.4. Измерение переменных токов и напряжений

электромеханическими приборами.

Электромеханические амперметры и вольтметры применяются для измерения действующих значений периодических токов и напряжений. Для их создания используются электромагнитные, электродинамические и ферродинамические, а также электростатические (только для вольтметров) измерительные механизмы. Кроме того, к электромеханическим амперметрам и вольтметрам относят также приборы на основе магнитоэлектрического измерительного механизма с преобразователями переменного тока или напряжения в постоянный ток (выпрямительные и термоэлектрические приборы).

Измерительные цепи электромагнитных, электродинамических и ферродинамических амперметров и вольтметров переменного тока практически не отличаются от цепей аналогичных приборов постоянного тока. Все эти приборы могут быть использованы для измерений как постоянных, так и переменных токов и напряжений.

Мгновенное значение вращающего момента в этих приборах определяется квадратом мгновенного значения тока в обмотках катушек, а положение указателя зависит от среднего значения вращающего момента. Поэтому прибор измеряет действующее (среднеквадратическое) значение измеряемого периодического тока или напряжения независимо от формы кривой. Наиболее распространенные амперметры и вольтметры с классами точности 0,2. 0,5, 1,0, 1,5 позволяют измерять переменные токи от 10 -4 до 10 2 А и напряжения от 0,1 до 600 В в частотном диапазоне от 45 Гц до 5 кГц.

Электростатические вольтметры также могут быть использованы для измерения и постоянных, и действующих значений переменных напряжений независимо от формы кривой, так как мгновенное значение вращающего момента в этих приборах определяется квадратом мгновенного значения измеряемого напряжения. Наиболее распространенные вольтметры с классами точности 0,5, 1,0, 1,5 позволяют измерять переменные напряжения от 1 до 10 5 В в частотном диапазоне от 20 Гц до 10 МГц.

Магнитоэлектрическими амперметрами и вольтметрами, предназначенными для работы в цепях постоянного тока, нельзя измерять действующие значения переменных токов и напряжений. Действительно, мгновенное значение вращающего момента в этих приборах пропорционально мгновенному значению тока в катушке. При синусоидальном токе среднее значение вращающего момента и, соответственно, показание прибора равно нулю. Если ток в катушке имеет постоянную составляющую, то показание прибора пропорционально среднему значению тока в катушке.

Для создания амперметров и вольтметров переменного тока на базе магнитоэлектрического измерительного механизма используют преобразователи переменного тока в постоянный на основе полупроводниковых диодов или термопреобразователей. На рис. 2.1 приведена одна из возможных схем амперметра выпрямительной системы, а на рис. 2.2 – термоэлектрической.

В амперметре выпрямительной системы измеряемый ток i (t ) выпрямляется и проходит через обмотку катушки магнитоэлектрического измерительного механизма ИМ. Показание прибора пропорционально среднему по модулю за период T значению тока:

. (2.2)

Значение I ср пропорционально действующему значению тока, однако коэффициент пропорциональности зависит от вида функции i (t ). Все приборы выпрямительной системы градуируются в действующих значениях токов (или напряжений) синусоидальной формы и не предназначены для измерений в цепях с токами произвольной формы.

В амперметре термоэлектрической системы измеряемый ток i (t ) проходит через нагреватель термопреобразователя ТП. При его нагреве на свободных концах термопары возникает термо-ЭДС, вызывающая постоянный ток через обмотку катушки магнитоэлектрического измерительного механизма ИМ. Значение этого тока нелинейно зависит от действующего значения I измеряемого тока i (t ) и мало зависит от его формы и спектра.

Схемы вольтметров выпрямительной и термоэлектрической систем отличаются от схем амперметров наличием добавочного сопротивления, включенного последовательно в цепь измеряемого тока i (t ) и выполняющего функцию преобразователя измеряемого напряжения в ток.

Наиболее распространенные амперметры и вольтметры выпрямительной системы с классами точности 1,0 и 1,5 позволяют измерять переменные токи от 10 -3 до 10 А и напряжения от 1 до 600 В в частотном диапазоне от 45 Гц до 10 кГц.

Наиболее распространенные амперметры и вольтметры термоэлектрической системы с классами точности 1,0 и 1,5 позволяют измерять переменные токи от 10 -4 до 10 2 А и напряжения от 0,1 до 600 В в частотном диапазоне от 1 Гц до 50 МГц.

Обычно приборы выпрямительной и термоэлектрической систем делают многопредельными и комбинированными, что позволяет использовать их для измерения как переменных, так и постоянных токов и напряжений.

2.1.5. Измерение постоянных напряжений

В отличие от электромеханических аналоговых вольтметров {2К11} электронные вольтметры имеют в своем составе усилители напряжения. Информативный параметр измеряемого напряжения преобразуется в этих приборах в постоянный ток в обмотке катушки магнитоэлектрического измерительного механизма {2К4} , шкала которого градуируется в единицах напряжения.

Усилитель электронного вольтметра должен иметь стабильный коэффициент усиления в определенном частотном диапазоне от некоторой нижней частоты f н до верхней f в. Если f н = 0, то такой усилитель обычно называют усилителем постоянного тока , а если f н > 0 и коэффициент усиления равен нулю при f = 0 – усилителем переменного тока .

Упрощенная схема электронного вольтметра постоянного тока состоит из трех основных узлов: входного делителя напряжения {2К9} , усилителя постоянного тока, подключенного к его выходу, и магнитоэлектрического вольтметра. Высокоомный делитель напряжения и усилитель постоянного тока обеспечивают высокое входное сопротивление электронного вольтметра (порядка 1 МОм). Коэффициенты деления и усиления можно дискретно регулировать, что позволяет делать вольтметры многодиапазонными. За счет высокого коэффициента усиления у электронных вольтметров обеспечивается более высокая чувствительность по сравнению с электромеханическими.

Особенностью электронных вольтметров постоянного тока является дрейф показаний – медленные изменения показаний вольтметра при неизменном измеряемом напряжении {1К14} , вызванные изменениями параметров элементов схем усилителей постоянного тока. Наиболее существенен дрейф показаний при измерении малых напряжений. Поэтому перед началом измерений необходимо с помощью специальных регулировочных элементов осуществить установку нулевого показания вольтметра при закороченном входе.

Если на рассматриваемый вольтметр подать переменное периодическое напряжение, то в силу свойств магнитоэлектрического измерительного механизма он будет измерять постоянную составляющую этого напряжения, если только переменная составляющая не слишком велика и усилитель вольтметра работает в линейном режиме.

Наиболее распространенные аналоговые электронные вольтметры постоянного тока позволяют измерять напряжения в диапазоне от 10 -6 до 10 3 В. Значения пределов основной приведенной погрешности зависят от диапазона измерений и составляют обычно ± (0,5 – 5,0) %.

2.1.6. Измерение переменных напряжений

аналоговыми электронными вольтметрами.

Аналоговые электронные вольтметры используются в основном для измерения действующих значений периодических напряжений в широком частотном диапазоне.

Основное отличие схемы электронного вольтметра переменного тока от рассмотренной выше схемы вольтметра постоянного тока связано с наличием в нем дополнительного узла – преобразователя информативного параметра переменного напряжения в постоянное. Такие преобразователи часто называют «детекторами».

Различают детекторы амплитудного, среднего по модулю и действующего значений напряжения. Постоянное напряжение на выходе первого пропорционально амплитуде напряжения на его входе, постоянное напряжение на выходе второго – среднему по модулю значению напряжения на входе, а третьего – действующему.

Каждую из трех указанных групп детекторов можно, в свою очередь, разделить на две группы: детекторы с открытым входом и детекторы с закрытым входом. У детекторов с открытым входом выходное напряжение зависит от постоянной составляющей входного напряжения, а у детекторов с закрытым входом – не зависит. Очевидно, если в схеме электронного вольтметра имеется детектор с закрытым входом или усилитель переменного тока, то показания такого вольтметра не зависят от постоянной составляющей измеряемого напряжения. Такой вольтметр выгодно использовать в тех случаях, когда полезную информацию несет только переменная составляющая измеряемого напряжения.

Упрощенные схемы амплитудных детекторов с открытым и с закрытым входами приведены соответственно на рис. 2.3 и 2.4.

При подаче на вход амплитудного детектора с открытым входом напряжения u (t ) = U m sinωt конденсатор заряжается до напряжения U m , которое запирает диод. При этом на выходе детектора сохраняется постоянное напряжение U m . Если же подать на вход напряжение произвольной формы, то конденсатор зарядится до максимального положительного значения этого напряжения.

При подаче на вход амплитудного детектора с закрытым входом напряжения u (t ) = U m sinωt конденсатор также заряжается до напряжения U m и на выходе образуется напряжение u (t ) = U m + U m sinωt . Если такое напряжение или пропорциональный ему ток подать на обмотку катушки магнитоэлектрического измерительного механизма, то показания прибора будут зависеть от постоянной составляющей этого напряжения, равной U m {2К4} . При подаче на вход напряжения u (t ) = U ср + U m sinωt , где U ср – среднее значение напряжения u (t ) , конденсатор заряжается до напряжения U m + U ср , а на выходе устанавливается напряжение u (t ) = U m + U m sinωt , не зависящее от U ср .

Примеры детекторов среднего по модулю и действующего значений напряжения были рассмотрены в подразделе 2.1.4 (соответственно рис. 2.1 и 2.2).

Детекторы амплитудного и среднего по модулю значения проще детекторов действующего значения, однако вольтметры на их основе можно использовать только для измерения синусоидальных напряжений. Дело в том, что их показания в зависимости от типа детектора пропорциональны средним по модулю или амплитудным значениям измеряемого напряжения. Поэтому рассматриваемые аналоговые электронные вольтметры можно градуировать в действующих значениях только при определенной форме измеряемого напряжения. Это сделано для наиболее распространенного – синусоидального напряжения.

Наиболее распространенные аналоговые электронные вольтметры позволяют измерять напряжения от 10 -6 до 10 3 В в частотном диапазоне от 10 до 10 9 Гц. Значения пределов основной приведенной погрешности зависят от диапазона измерений и частоты измеряемого напряжения и составляют обычно ± (0,5 – 5,0) %.

Методика измерений с помощью электронных вольтметров отличается от методики применения электромеханических вольтметров. Это связано с наличием в них электронных усилителей с источниками питания напряжениями постоянного тока, работающими, как правило, от сети переменного тока.

Если же зажим 6 соединить с входным зажимом 1 вольтметра и измерять, например, напряжение U 65 , то результат измерения будет искажен напряжением помехи, значение которого зависит от параметров схем замещения рис. 2.5 и 2.6.

При прямом измерении напряжения U 54 помеха будет искажать результат измерения независимо от способа подключения вольтметра. Избежать этого можно при косвенном измерении, измерив напряжения U 64 и U 65 и вычислив U 54 = U 64 - U 65 . Однако точность такого измерения может оказаться недостаточно высокой, особенно если U 64 ≈ U 65 . {2К12}

при численном решении алгебраических уравнений - суммарное влияние округлений, сделанных на отдельных шагах вычислительного процесса, на точность полученного решения линейной алгебраич. системы. Наиболее распространенным способом априорной оценки суммарного влияния ошибок округления в численных методах линейной алгебры является схема т. н. обратного анализа. В применении к решению системы линейных алгебраич. уравнений

схема обратного анализа заключается в следующем. Вычисленное прямым методом Мрешение хуи не удовлетворяет (1), но может быть представлено как точное решение возмущенной системы

Качество прямого метода оценивается по наилучшей априорной оценке, к-рую можно дать для норм матрицы и вектора . Такие "наилучшие"и наз. соответственно матрицей и вектором эквивалентного возмущения для метода М.

Если оценки для и имеются, то теоретически ошибка приближенного решения может быть оценена неравенством

Здесь - число обусловленности матрицы А, а матричная норма в (3) предполагается подчиненной векторной норме

В действительности оценка для редко бывает известна, и основной смысл (2) состоит в возможности сравнения качества различных методов. Ниже приводится вид нек-рых типичных оценок для матрицы Для методов с ортогональными преобразованиями и арифметики с плавающей запятой (в системе (1) Аи bсчитаются действительными)

В этой оценке - относительная точность арифметич. операций в ЭВМ,- евклидова матричная норма, f(n) - функция вида , где п- порядок системы. Точные значения константы Си показателя kопределяются такими деталями вычислительного процесса, как способ округления, использование операции накопления скалярных произведений и т. д. Наиболее часто k=1 или 3/2.

В случае методов типа Гаусса в правую часть оценки (4) входит еще множитель , отражающий возможность роста элементов матрицы Ана промежуточных шагах метода по сравнению с первоначальным уровнем (такой рост отсутствует в ортогональных методах). Чтобы уменьшить значение , применяют различные способы выбора ведущего элемента, препятствующие возрастанию элементов матрицы.

Для квадратного корня метода, к-рый применяется обычно в случае положительно определенной матрицы А, получена наиболее сильная оценка

Существуют прямые методы (Жордана, окаймления, сопряженных градиентов), для к-рых непосредственное применение схемы обратного анализа не приводит к эффективным оценкам. В этих случаях при исследовании Н. п. применяются и иные соображения (см. - ).

Лит. : Givens W., "TJ. S. Atomic Energy Commiss. Repts. Ser. OR NL", 1954, № 1574; Wilkinson J. H., Rounding errors in algebraic processes, L., 1963; Уилкинсон Д ж.

X. Д. Икрамов.

Н. п. округления или погрешности метода возникает при решении задач, где решение является результатом большого числа последовательно выполняемых арифметич. операций.

Значительная часть таких задач связана с решением алгебраич. задач, линейных или нелинейных (см. выше). В свою очередь среди алгебраич. задач наиболее распространены задачи, возникающие при аппроксимации дифференциальных уравнений. Этим задачам свойственны нек-рые специфич. особенности.

Н. п. метода решения задачи происходит по тем же или по более простым законам, что и Н. п. вычислительной погрешности; Н. ,п. метода исследуется при оценке метода решения задачи.

При исследовании накопления вычислительной погрешности различают два подхода. В первом случае считают, что вычислительные погрешности на каждом шаге вносятся самым неблагоприятным образом и получают мажорантную оценку погрешности. Во втором случае считают, что эти погрешности случайны с определенным законом распределения.

Характер Н. п. зависит от решаемой задачи, метода решения и ряда других факторов, на первый взгляд могущих показаться несущественными; сюда относятся форма записи чисел в ЭВМ (с фиксированной запятой или с плавающей запятой), порядок выполнения арифметич. операций и т. д. Напр., в задаче вычисления суммы Nчисел

существенен порядок выполнения операций. Пусть вычисления производятся на машине с плавающей запятой с tдвоичными разрядами и все числа лежат в пределах . При непосредственном вычислении с помощью рекуррентной формулы мажорантная оценка погрешности имеет порядок 2 -t N. Можно поступить иначе (см. ). При вычислении попарных сумм (если N=2l+1 нечетно) полагают . Далее вычисляются их попарные суммы и т. д. При после тшагов образования попарных сумм по формулам

получают мажорантная оценка погрешности порядка

В типичных задачах величины а т вычисляются по формулам, в частности рекуррентным, или поступают последовательно в оперативную память ЭВМ; в этих случаях применение описанного приема приводит к увеличению загрузки памяти ЭВМ. Однако можно организовать последовательность вычислений так, что загрузка оперативной памяти не будет превосходить -log 2 N ячеек.

При численном решении дифференциальных уравнений возможны следующие случаи. При стремлении шага сетки hк нулю погрешность растет как где . Такие методы решения задач относят к классу неустойчивых. Их применение носит эпизодич. характер.

Для устойчивых методов характерен рост погрешности как Оценка погрешности таких методов обычно производится следующим образом. Строится уравнение относительно возмущения, вносимого или округлением, или погрешностями метода и затем исследуется решение этого уравнения (см. , ).

В более сложных случаях применяется метод эквивалентных возмущений (см. , ), развитый в отношении задачи исследования накопления вычислительной погрешности при решении дифференциальных уравнений (см. , , ). Вычисления по нек-рой расчетной схеме с округлениями рассматриваются как вычисления без округлений, но для уравнения с возмущенными коэффициентами. Сравнивая решение исходного сеточного уравнения с решением уравнения с возмущенными коэффициентами получают оценку погрешности.

Уделяется существенное внимание выбору метода по возможности с меньшими значениями qи A(h). При фиксированном методе решения задачи расчетные формулы обычно удается преобразовать к виду, где (см. , ). Это особенно существенно в случае обыкновенных дифференциальных уравнений, где число шагов в отдельных случаях оказывается очень большим.

Величина (h)может сильно расти с ростом промежутка интегрирования. Поэтому стараются применять методы по возможности с меньшим значением A(h). В случае задачи Коши ошибка округления на каждом конкретном шаге по отношению к последующим шагам может рассматриваться как ошибка в начальном условии. Поэтому нижняя грань (h)зависит от характеристики расхождения близких решений дифференциального уравнения, определяемого уравнением в вариациях.

В случае численного решения обыкновенного дифференциального уравнения уравнение в вариациях имеет вид

и потому при решении задачи на отрезке ( х 0 , X )нельзя рассчитывать на константу A(h)в мажорантной оценке вычислительной погрешности существенно лучшую, чем

Поэтому при решении этой задачи наиболее употребительны однощаговые методы типа Рунге - Кутта или методы типа Адамса (см. , ), где Н. п. в основном определяется решением уравнения в вариациях.

Для ряда методов главный член погрешности метода накапливается по подобному закону, в то время как вычислительная погрешность накапливается существенно быстрее (см. ). Область практич. применимости таких методов оказывается существенно уже.

Накопление вычислительной погрешности существенно зависит от метода, применяемого для решения сеточной задачи. Напр., при решении сеточных краевых задач, соответствующих обыкновенным дифференциальным уравнениям, методами стрельбы и прогонки Н. п. имеет характер A(h)h -q , где qодно и то же. Значения A(h)у этих методов могут отличаться настолько, что в определенной ситуации один из методов становится неприменимым. При решении методом пристрелки сеточной краевой задачи для уравнения Лапласа Н. п. имеет характер с 1/h , с >1, а в случае метода прогонки Ah -q . При вероятностном подходе к исследованию Н. п. в одних случаях априорно предполагают какой-то закон распределения погрешности (см. ), в других случаях вводят меру на пространстве рассматриваемых задач и, исходя из этой меры, получают закон распределения погрешностей округления (см. , ).

При умеренной точности решения задачи мажорантные и вероятностные подходы к оценке накопления вычислительной погрешности обычно дают качественно одинаковые результаты: или в обоих случаях Н. п. происходит в допустимых пределах, или в обоих случаях Н. п. превосходит такие пределы.

Лит. : Воеводин В. В., Вычислительные основы линейной алгебры, М., 1977; Шура-Бура М. Р., "Прикл. матем. и механ.", 1952, т. 16, № 5, с. 575-88; Бахвалов Н. С, Численные методы, 2 изд., М., 1975; Уилкинсон Дж. X., Алгебраическая проблема собственных значений, пер. с англ., М.. 1970; Бахвалов Н. С, в кн.: Вычислительные методы и программирование, в. 1, М., 1962, с, 69-79; Годунов С. К., Рябенький В. С, Разностные схемы, 2 изд., М., 1977; Бахвалов Н. С, "Докл. АН СССР", 1955, т. 104, № 5, с. 683-86; его же, "Ж. вычислит, матем. и матем. физики", 1964; т. 4, № 3, с. 399- 404; Лапшин Е. А., там же, 1971, т. 11, № 6, с.1425-36.

• - отклонения результатов измерений истинных значений измеряемой величины. Систематич...
• - отклонения метрологич. свойств или параметров средств измерений от поминальных, влияющее на погрешности результатов измерений...

  Естествознание. Энциклопедический словарь

• - отклонения результатов измерений от истинных значений измеряемой величины. Играют существенную роль при производстве ряда судебных экспертиз...

  Криминалистическая энциклопедия

• - : Смотри также: - погрешности средств измерений - погрешности измерений...
• - Смотри...

  Энциклопедический словарь по металлургии

• - отклонения метрологических параметров средств измерений от номинальных, влияющие на погрешности результатов измерений...

  Энциклопедический словарь по металлургии

• - "...Периодические погрешности - погрешности, значение которых является периодической функцией времени или перемещения указателя измерительного прибора.....

  Официальная терминология

• - "...Постоянные погрешности - погрешности, которые длительное время сохраняют свое значение, например в течение времени выполнения всего ряда измерений. Они встречаются наиболее часто.....

  Официальная терминология

• - "...Прогрессивные погрешности - непрерывно возрастающие или убывающие погрешности...

  Официальная терминология

• - см. Ошибки наблюдений...

  Энциклопедический словарь Брокгауза и Евфрона

• - ошибки измерений, отклонения результатов измерений от истинных значений измеряемых величин. Различают систематические, случайные и грубые П. и. ...
• - отклонения метрологических свойств или параметров средств измерений от номинальных, влияющие на погрешности результатов измерений, получаемых при помощи этих средств...

  Большая Советская энциклопедия

• - разность между результатами измерений и истинным значением измеряемой величины. Относительной погрешностью измерения называется отношение абсолютной погрешности измерения к истинному значению...

  Современная энциклопедия

• - отклонения результатов измерений от истинных значений измеряемой величины...

  Большой энциклопедический словарь

• - прил., кол-во синонимов: 3 исправивший устранивший неточности устранивший ошибки...

  Словарь синонимов

• - прил., кол-во синонимов: 4 исправлявший устранявший изъяны устранявший неточности устранявший ошибки...

  Словарь синонимов

"НАКОПЛЕНИЕ ПОГРЕШНОСТИ" в книгах

Технические погрешности

Технические погрешности